[python] 백준 10830 :: 행렬 제곱 (분할 정복)

[행렬 제곱]

# 문제
크기가 N*N인 행렬 A가 주어진다. 이때, A의 B제곱을 구하는 프로그램을 작성하시오. 수가 매우 커질 수 있으니, A^B의 각 원소를 1,000으로 나눈 나머지를 출력한다.

# 입력
첫째 줄에 행렬의 크기 N과 B가 주어진다. (2 ≤ N ≤  5, 1 ≤ B ≤ 100,000,000,000)

둘째 줄부터 N개의 줄에 행렬의 각 원소가 주어진다. 행렬의 각 원소는 1,000보다 작거나 같은 자연수 또는 0이다.

# 출력
첫째 줄부터 N개의 줄에 걸쳐 행렬 A를 B제곱한 결과를 출력한다.

풀이

전체 코드

import sys

N, B = map(int, input().split())
A = [list(map(int, sys.stdin.readline().split())) for _ in range(N)]

# 행렬 곱셈 함수
def matrix_mul(arr1, arr2):
    # 곱셈 결과를 저장할 2차원 리스트 생성
    result = [[0] * N for _ in range(N)]
    # 행렬 곱셈 연산 수행
    for row in range(N):
        for col in range(N):
            s = sum(arr1[row][i] * arr2[i][col] for i in range(N))
            result[row][col] = s % 1000
    # 결과 반환
    return result

# 분할 정복 함수
def power(n, arr):
    # 종료 조건: n이 1일 때
    if n == 1:
        return arr
    # n이 짝수일 때
    if n % 2 == 0:
        half = power(n//2, arr)  # 절반을 계산
        return matrix_mul(half, half)  # 제곱 계산
    # n이 홀수일 때
    else:
        return matrix_mul(arr, power(n-1, arr))  # n-1로 짝수로 만들어서 제곱 계산

# 결과 출력
for row in power(B, A):
    print(*[r % 1000 for r in row])

 

0. 풀이 방식

• 곱할 횟수를 반씩 나누어 가는 분할 정복 방식으로 접근한다.
• 곱해야 할 횟수가 홀수로 주어질 경우에는, A^2 * A와 같은 경우가 생길 수 있어
  단순히 행렬을 제곱하는 방식으로는 해결할 수 없다.
• 따라서, 제곱이 아닌 행렬 두 개 arr1과 arr2를 곱한 결과를 리턴하는 함수를 만들어야 한다.

 

1. 행렬 곱셈 함수

행렬의 곱셈 구하는 방법

• 행렬을 곱하면 앞 행렬의 행 수와 뒤 행렬의 열 수로 이루어진 행렬이 만들어진다.
  (이 문제에서는 어차피 같은 행렬을 곱하는 거니까 그대로 N * N 행렬이 나온다.)
• 1행 1열에 들어갈 값은
  앞 행렬의 1행의 요소들을 뒤 행렬의 1열의 요소들과 하나씩 차례대로 곱한 값을 전부 더한다.
  
  
• 1행 2열에 들어갈 값은
  앞 행렬의 1행의 요소들을 뒤 행렬의 2열의 요소들과 하나씩 차례대로 곱한 값을 전부 더한다.
  
  
• 2행 1열과 2행 2열 계산
  
  
• a행 b열의 값은
  이렇게 앞의 행렬의 a행의 요소를 하나씩, 뒤 행렬의 b열의 요소를 하나씩
  짝지어 곱한 값을 전부 더해주면 된다.
• 이것을 코드로 나타내면 각 행/렬의 값은 아래처럼 구할 수 있다.
• 값 = 0 for i in range(N): 값 += 앞행렬[row][i] * 뒤행렬[i][col]
• 이 값을 결과를 담을 리스트에 넣어주면 되는데,
  문제에서 1000으로 나눈 나머지 값을 사용하라고 했으니 1000으로 나눈 나머지를 넣어준다.

그러면 행렬 곱셈 함수 완성!

# 행렬 곱셈 함수
def matrix_mul(arr1, arr2):
    # 곱셈 결과를 저장할 2차원 리스트 생성
    result = [[0] * N for _ in range(N)]
    # 행렬 곱셈 연산 수행
    for row in range(N):
        for col in range(N):
            s = sum(arr1[row][i] * arr2[i][col] for i in range(N))
            result[row][col] = s % 1000
    # 결과 반환
    return result

 

2. 분할 정복 함수

종료 조건 설정

• n이 1이면 arr을 그대로 리턴한다.

    # 종료 조건: n이 1일 때
    if n == 1:
        return arr

n이 짝수일 경우

• n//2 값으로 분할 정복 함수를 다시 호출하고,
  그 값으로 행렬의 곱셈을 한다.

    # n이 짝수일 때
    if n % 2 == 0:
        half = power(n//2, arr)  # 절반을 계산
        return matrix_mul(half, half)  # 제곱 계산

n이 홀수인 경우

• n이 3인 경우에는 arr * (arr * arr)
  n이 5인 경우에는 arr * (arr * arr) * (arr * arr)
  이런식으로 arr에 짝수번 곱한 값을 곱해주면 되니까
  arr과 power(n-1, arr)를 실행한 값을 곱해준다.

    # n이 홀수일 때
    else:
        return matrix_mul(arr, power(n-1, arr))  # n-1로 짝수로 만들어서 제곱 계산

 

3. 결과 출력

• 🚨 출력할 때도 값들을 1000으로 나눈 나머지를 출력해줘야 한다.
• 곱셈을 할 때 1000으로 나눈 값을 저장하기 때문에 이 과정이 필요 없을 것 같지만,,,
• 곱할 횟수가 1로 주어져서 곱셈을 수행하지 않아도
  기존의 값이 1000보다 큰 경우에는 1000으로 나눈 나머지를 결과로 출력해야 정답으로 나온다ㅡㅡ..

# 결과 출력
for row in power(B, A):
    print(*[r % 1000 for r in row])